বলুন তো শেষ অঙ্ক দুটি কত?

সবার জন্য গণিত

বলুন তো শেষ অঙ্ক দুটি কত?

গণিতের এমন কিছু সমস্যা আছে যা প্রথম দেখায় মনে হয় দু-এক মিনিটে সমাধান কীভাবে সম্ভব? কিন্তু আসলে সম্ভব। সবই নির্ভর করে চট করে বুদ্ধি খাটানোর ওপর। যেমন ধরুন প্রশ্ন করলাম, দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার অঙ্ক দুটির গুণফল ৬। সংখ্যাটির সঙ্গে ৯ যোগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করে। বলুনতো সংখ্যাটি কত? এর উত্তরের জন্য আমরা সাধারণত মনে করি বীজগণিতের আশ্রয় নিতে হবে। সে তো অনেক সময়ের প্রশ্ন। অথচ চট করে মুখে মুখেই উত্তর বের করা যায়। আমরা শুধু ৬-এর উৎপাদকগুলো পরীক্ষা করেই উত্তর বের করতে পারি। যেমন, অঙ্ক দুটি ১ ও ৬ অথবা ৩ ও ২ হবে। কারণ এদের গুণফল ৬। কিন্তু এদের প্রথম জোড়াটি হবে না। কারণ সে ক্ষেত্রে সংখ্যাটি ১৬ অথবা ৬১ হতে হবে। এ দুটি সংখ্যার কোনোটির সঙ্গেই ৯ যোগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করবে না। তাহলে দেখা যাক উৎপাদক ৩ ও ২ হলে কী হয়। সংখ্যাটি ৩২ হতে পারে না, কারণ ৩২ এর সঙ্গে ৯ যোগ করলে হবে ৪১, সেখানে অঙ্ক দুটির স্থান পরিবর্তন হচ্ছে না। কিন্তু সংখ্যাটি যদি ২৩ হয় তাহলে আমরা উত্তর পেয়ে যাই। কারণ এর অঙ্ক দুটির গুণফল ৬ এবং (২৩ + ৯) = ৩২, যেখানে অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করেছে। প্রথমে জটিল মনে হলেও শেষ পর্যন্ত শুধু যুক্তি দিয়ে মুখে মুখে উত্তর বের করে ফেলেছি।

অবশ্য বীজগণিতের জটিল হিসাবের মাধ্যমে উত্তর বের করা যায়। যেমন মনে করি সংখ্যাটি ক ও খ। এর মান = (১০ক + খ)। শর্ত দুটি। প্রথম শর্ত অনুযায়ী (ক×খ) = ৬ এবং দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী (কখ) এর সঙ্গে ৯ যোগ করলে অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করে হবে খক, যার মান (১০খ + ক)। অর্থাৎ (১০ক + খ + ৯) = (১০খ + ক) । এখানে দুটি অজানা রাশি এবং দুটি সমীকরণ। তাই ক ও খ-এর মান বের করা যায়।প্রাপ্ত সমীকরণ (১০ক + খ + ৯) = (১০খ + ক) থেকে অনুযায়ী, ৯(খ - ক) = ৯। সুতরাং (খ-ক) = ১। এই সমীকরণ থেকে বলতে পারি (খ = ৩) ও (ক = ২)। অর্থাৎ সংখ্যাটি = (কখ) = ২৩।


গণিতের আরেকটি সমস্যা দেখুন। একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ থেকে এক–পঞ্চমাংশ বিয়োগ করলে যদি ৮ হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে ধরে নেব সংখ্যাটি ‘ক’। তাহলে শর্ত অনুযায়ী (ক/৩ - ক/৫) = ৮। অথবা, (২ক/১৫) = ৮। অর্থাৎ (২ক) = (৮×১৫) = ১২০। তাহলে ক = ৬০। অর্থাৎ সংখ্যাটি ৬০। এবার মিলিয়ে দেখি। ৬০ এর এক-তৃতীয়াংশ = ২০ এবং এক পঞ্চমাংশ = ১২। এদের বিয়োগফল = (২০ - ১২) = ৮।